課題のデータは、全部で18レース分です。
（本命１、対抗2、 単穴３、二重△４、△５、その他６としています。勝馬１、負け馬０。）
http://dl.dropbox.com/u/13984080/20120303_kadai.d
このデータを用いて、6名の予想者それぞれのARを計算するというものでした。結果は、6名の予想者それぞれの予想のARは、77.6%（柏木）、50.7%（宮崎）、60.4%（黒津）、49.0%（久保木）、74.7%（桧原）、73.0%（本誌飯田）。この18レースに関する限り、柏木氏の予想のARが77.６%で最高で、低い人は50%前後ということが分かります。もちろんこの傾向が、ずっと続くのか、それともタマタマだったのかは、レース数を増やさないと分からない。でも、素直な感想は、プロの予想は結構すばらしいというものです。最初の回で、競馬ファンの予想（オッズ）のARは約68%弱と書きました。その結果は何万レースでの予想の結果だったのですが、その数字と比較してもスバラシイ。
そこで、今回の課題です。
（１）前回入力した18レースのデータに、オッズのデータを追加する。
（２）オッズのARを計算し、上記の6名の予想のARとの比較を行う。
（３）6名の予想とオッズを用いて、ARがもっとも高い予想の作成を行う。
ここで、（３）の課題に対するヒントです。いろいろな予想があった場合、ひとつひとつの予想にはどうしてもバラつきがある。あるレースですばらしい予想をしても、別のレースでは完全に外したりして、全レースでなかなかピタリとあてるのは難しい。では、このバラつきを減らすにはどうすればいいのかというと、「単に平均をとればいい」というのが「集合知」でよく知られた事実です。そうすれば、ある馬に対し、ある予想ば過大評価、ある予想は過小評価しても、その平均をとると、過大評価と過小評価が相殺して、適正な評価が得られるわけです。
実際には、ある数値に対する個々人の評価は、正規分布のような左右対称に分布するわけではない。むしろ対数正規のような、過大評価側にテールが伸びている。つまり、むちゃくちゃ大きな値を予想する人が出てしまう。この場合、単純な平均（算術平均）では、バラつきをキャンセルできず、どうしてもバイアスが残ってしまう。J.Lorenz(2011,PNAS)の実験では、スイスの平均人口密度やスイスーイタリアの国境の長さなど6問について12人の被験者に予想してもらうという実験を行ったのですが、その結果を見ると、算術平均ではひどい結果でした。人口密度は実際は184名なのに、算術平均は２644名。こうした場合は、算術平均の代わりに幾何平均を使うのがいい。つまり、データの対数の平均をとるわけです。すると、対数正規分布は正規分布に代わり、左右対称になるので、あとは算術平均し、指数関数にいれて戻してやる。これは幾何平均と同じこと。その結果は１３２名で、ムチャクチャ大きな予想をした人の影響をうまく消して、真の値１８４名に結構近づいていることが分かります。
このように、問題によっては算術平均ではなく幾何平均を用いたり、いろいろ工夫する必要があるのですが、試しに「予想の平均」を計算して、それを用いてARを計算してみました。ある馬に対し、本命１、対抗２といった数値が6名分あるので、それを全部足して６で割って平均を計算。そして、数値の小さい順に馬を並べ替えて、ROCカーブを描き、AUROCを計算してARを求める。結果が次の図です。
各自担当レースのオッズをデータに追加し、来週の土曜日に課題の結果を持ってくること。
