M.M.Ali 1977

Probability and Utility Estimate for racetrack Bettors, Journal of Political Economy 83(1977)803-815.

M.Weitzman(1965)はオッズ（リターン）に対する勝率を解析したのですが、それを人気（オッズの小さいものからの順番）に対して行った。また、F-Lバイアスの原因として、効用関数の凹性の他に、競馬ファンの考える勝率のゆらぎを指摘。また、レース後半で所持金が少なくなると、F-Lバイアスが大きくなる。

データは20247レースの繋駕速歩競走（けいがそくほきょうそう、harness horse race)

１．イントロダクション

心理学の実験で低確率の事象の頻度が過大評価され、高確率の事象の頻度が過小評価されると主張された。Griffith(1949)やMacGlothlin（1956)は競馬のデータから同様な結論を得たが、彼らのデータはわずか1500レース以下。M.Weitzman(1965)は12000レース以上でやり、以前の研究を確認＋典型的競馬ファンの効用関数を評価した。

２．主観vs客観確率の評価

単勝を考える。Ｈ頭のレースで馬iに賭けられた額Xi、総額Ｗとする。aが競馬場の取り分と切り捨て分の和とすると、オッズAiはAi=((1-a)W-Xi)/Xi=(1-a)W/Xi-1となる。

馬hが勝つ主観確率は賭けられた額の比率Xi/W、客観確率はレースが無限回行われたときのその馬の勝つ比率。馬iの主観確率ρiはオッズから分かる。ρi=(1-a)/(1+Ai)。馬iの客観確率πiは一回の試行からは分からない。そこで馬をグループわけを行い、その平均主観確率と平均客観確率を比較する。同じグループの馬は、一頭の馬と考える。馬は人気でグループ化する。1番人気、2番人気という風に。人気をhで表し、ρhとπhを比較。人気hは1番から8番まで。すると、h=1ではπhはρhよりも大、h>=5では、逆πhはρhより小さいが成立。1番人気の馬では、主観確率よりも客観確率が上で、人気5以下の不人気馬では逆に主観確率ほど客観確率は高くなく、F-Lバイアスが確認された。

３．F-Lバイアスの説明
（１）心理学的なもの
（２）競馬ファンはリスク選好
競馬ファンは合理的（＝損な行動はしない）で馬の勝率を知っていてリスク選好であるとすると、期待効用仮説とも一致。ただし、効用関数は凹。ただし、このアイデアは矛盾する場合がある。効用関数はひとつのレースで馬券を買うときのみ、と限定すれば問題なし。
（３）馬の勝率の知識にバラツキがある＋リスク中立＋合理的でも説明可能。

４．効用関数(Implied Utility Function)

競馬ファンは期待効用関数を最大化＆勝率を知る＆ひとつのレースに限定すると仮定（（２）の場合）して、レースデータから効用関数を評価する。Implied効用関数と呼ぶ。結果は、リターンの増加とともに増加率が上昇する、リスク選好タイプであることが分かった。



効用関数をu(x)と書く。人気hに対する真の勝率πh、平均オッズah。所持金をXo。
人気hに賭けたときの効用関数の期待値は、
Eh(u)=(1-πh)u(Xo-1)+πh[u((Xo-1)+(1+ah))]
ahは最終オッズなので、どの人気hの期待値も同じになる。
E1(u)=E2(u)=E3(u)=E4(u)=E5(u)E6(u)=E7(u)=E8(u)
Xo-1=0、u(0)=0,u(1+a8)=1と選ぶと、u(1+ah)=π8/πhとなる。リターンx=1+ahとすると、log u(x)=0.2794(0.0200)+1.1784log x（R^2=0.9981）でフィットできる。u(x)=1.91*x^{1.1784}となり、凹な関数となる。

M.Weitzman 1965

Utility Analysis and Group Behavior　An Empirical Study, Journal of Political Economy 73(1965), 18-26.

競馬ファンの効用関数をデータから求めた最初の論文です。

１．イントロダクション
現在まで効用関数の実証的な研究は、実験室の中の小さなグループを対象としたものが主だった。この論文では、競馬ファンの集団の投票行動の多量なデータを用いて効用関数を研究する。”競馬における平均的な人”(average man at the racetrack" という概念を導入し、その意思決定のメカニズム、さまざまなリスクの組み合わせに対する無差別曲線、お金の効用曲線を与える。

２．期待効用仮説
根本的な仮定は、おのおのは非常によい近似で自分の効用関数を最大にするように振る舞う。mドルを確率ｐで得る状況の効用関数をU(p,m)とすると、期待効用仮説とは、U(p,m)=p×u(m)となること。ここで、u(m)はmドルの効用。Friedman&Savage(1948)はお金の効用カーブu(m)は、凸凹していると保険に入る一方で、ギャンブルするといったリスクに対する一見矛盾した行動を説明できると主張。Markowitz(1952)はそれを修正。mがc以上a以下では、カーブは下に凸。それ以上だと上に凸とした。aは変局点で、個人のリスクに対する嗜好性で決まり、ｃは現在の所得。この研究では、ｃからaまでの領域の効用関数の評価を行う。

３．データ解析
ニューヨーク、1954-1963の10年間、12000レース以上、110000頭以上のデータ。
合理的な競馬ファンは、リスクに対する態度を考えると、オッズ（リターン）が教えるよりも高い確率で勝つ馬を選択する。ここでは、リターンと実際の勝つ確率の間の関係に着目する。

４. 結果
リターンxの関数としての馬の勝率pを計算した。(x,p)の組は257個。 重みつき最小二乗法でフィット。直角双曲線p=A/xのフィットはかなりよく、決定値R^2は0.9807,A=0.8545(±0.0075)
p=A/x+Blog(1+x)/xはさらによく、決定値R^2は0.9852,A=1.011(±0.0190),B=-0.087(±0.0099)
で、こちらを採用。



5.　Avmart氏の定式化
人工的に導入した一様な競馬ファンのことを"Mr. Avmart(Average man at the racetrack"と呼ぶ。多数のMr.Avmartが買う馬券は競馬ファン全体で買う馬券と一致する。競馬ファン全体を擬人化したもの。

6．Avmartの無差別曲線
関係p(x)は、オッズxを5倍すると、現実のAvmartのリターンと確率の無差別曲線になる。なぜなら、１レースに大体５ドルかけるから。p(mドル)=p(x=m/5)はAvmartの等効用曲線。曲線上の任意の2点A(m1,p1),B(m2,p2)の効用は同じ。1/xがp(x)のかなりよい近似であるというのは重要である。Avmartが期待効用仮説を支持していることを示す。

7.Avmartのお金の効用曲線u(m)
Avmartが期待効用仮説に従うならば、彼のお金の効用関数を決定できる。ある定数Kを用いてp(m)×u(m)=Kが成立するので、u(m)=K/p(m)となる。p(m)=5A/m+5Blog(1+m/5)/mを代入する。結果、u''(m)>0 が5≦m≦500で成立し、下に凸であることがわかる。u''の値はm=500ドルでm=5ドルの100分の1以下なので、十分大きなmでu''=0となり、上に凸な領域に変化するのかもしれない。



8. 結論
競馬ファンはMarkowitzが仮定した下に凸な効用関数をもった個人の集団のように振る舞う。

R.M.Griffith 1949 & 1961

Odds Adjustment by American Horse-Race Bettors
American Jornal of　Psycology,62(1949)290-294.

競馬においてさまざまな馬のオッズとは賭けられたお金の総額に比例し、それゆえ社会的に決まるものである。一方、さまざまなオッズレベルの馬の勝ちの客観的確率は事後に勝ち馬の比率で決められる。オッズは心理学的な確率（の逆数）を表し、任意のオッズでの勝ち馬の比率は真の確率を計測する。両者の系統的な差は競馬における賭けという特殊なトピックに光を投げかけるだけでなく確率の心理学というより一般的な分野の理解にもつながるものだ。

データは1947年春の519レースと8月の867レースの計1386レース、




「勝ち馬の数×オッズ＝そのオッズの馬の数」？を検証した。オッズは寺銭、切捨てなどを補正。左辺が馬の数を超えるならその（心理学的な）オッズは過大評価、以下なら過小評価。
結果は、左辺と右辺をオッズレベルに対してプロットすると二つのカーブはほぼ一致する。細かく見ると、オッズが小の部分で左辺が右辺の上、オッズが大の部分で左辺が右辺の下にくる。オッズが6.1でで交わる。

まとめ
（１）社会的に決まるオッズは平均して馬の勝率を正確に反映する。
（２）しかし、オッズが小さい部分では勝率の過小評価、大きい部分では過大評価がある。
（３）オッズが６．１で切り替わる。
（４）Preston and Baratta が大きな確率を過小評価、小さな確率を過大評価するする系統的な傾向を実験で検証したが、その切り替わる確率の値は5%から25%で（３）とも符合する。


A Footnote on Horse Race Betting,Transactions Kentucky Academy of Science,22(1961)22,78-81.

データは1949年5月、1960年8月のデータ。単勝オッズが3倍以下。

もっとも勝率の高い馬の勝率の過小評価の傾向は複勝の場合にもっとも顕著になるはずだ。
結果は、単勝のオッズが１．４以下の馬の複勝の馬券は過小評価され、寺銭、切捨てを考慮してももうかるレベル。1949年だと1ドルに対し6.15セント、1960年だと1ドルで2.4セントの利益。